Qu'est-ce que fonction gamma ?

La fonction gamma (Γ(z)) est une fonction spéciale qui étend la fonction factorielle aux nombres complexes et réels. Pour un entier positif n, Γ(n) = (n-1)!.

• Définition: La fonction gamma est définie par l'intégrale suivante :

  Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z-1)e^(-t) dt

  où z est un nombre complexe avec Re(z) > 0 (la partie réelle de z est positive). Cette intégrale converge pour Re(z) > 0.

• Propriétés importantes:

  • Relation de récurrence: Γ(z+1) = zΓ(z). Cette propriété est fondamentale et permet de prolonger la fonction gamma à tout le plan complexe, à l'exception des entiers négatifs et de zéro.

  • Valeurs spéciales:

    • Γ(1) = 1! = 1
    • Γ(1/2) = √π

  • Extension aux nombres complexes: La fonction gamma peut être étendue à tout le plan complexe, sauf aux entiers non positifs (0, -1, -2, ...), où elle possède des pôles simples.

  • Formule de réflexion d'Euler: Γ(z)Γ(1-z) = π / sin(πz)

  • Formule de duplication de Legendre: Γ(z)Γ(z + 1/2) = √π 2^(1-2z) Γ(2z)

• Applications: La fonction gamma apparaît dans de nombreux domaines des mathématiques, de la physique et des statistiques, notamment :

  • Calcul d'intégrales: Elle est utilisée pour évaluer certaines intégrales complexes.

  • Théorie des nombres: Elle intervient dans la fonction zêta de Riemann et d'autres fonctions importantes.

  • Probabilités et statistiques: Elle est la base de la distribution gamma, une distribution de probabilité continue largement utilisée.

  • Physique: Elle apparaît dans la mécanique quantique, la théorie des cordes et d'autres domaines.

• Fonctions liées:

  • Fonction digamma: Définie comme la dérivée logarithmique de la fonction gamma, ψ(z) = Γ'(z) / Γ(z).

  • Fonction bêta: Liée à la fonction gamma par la relation B(x, y) = Γ(x)Γ(y) / Γ(x+y).

• Représentations alternatives: Outre l'intégrale, la fonction gamma peut être définie par différentes représentations, telles que la limite de Gauss :

  Γ(z) = lim_(n→∞) (n! n^z) / (z(z+1)...(z+n))

  ou par le produit infini d'Euler :

  1/Γ(z) = ze^(γz) ∏_(n=1)^∞ (1 + z/n)e^(-z/n)

  où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.